Magische Quadrate: Methoden zur Erzeugung

„Ein magisches Quadrat der Kantenlänge n ist eine quadratische Anordnung der Zahlen 1,2, … ,n^2, so dass die Summe der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich ist.“
Diese Zeilen- bzw. Spaltensumme wird als magische Zahl bezeichnet. Es ist leicht zu sehen, dass die magische Zahl 1/n mal der Summe der Zahlen von 1 bis n^2 sein muss:

magqoder: (1+2+3+…+n²):n = (1/2)n(n²+1)(1+2+3+…+n²):n = (1/2)n(n²+1).
Die Seitenlänge (Anzahl n) bezeichnet man als Ordnung.
Und das sind die magischen Summen der ersten acht Quadrate:

  • 3×3  4×4 5×5  6×6 7×7  8×8  9×9  10×10
  • 15     34   65   111 175   260  369    505

Das magische 3×3-Quadrat (Sigillum Saturni) im Aufbau:
Es gilt 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Beim magischen Quadrat n=3 werden jeweils 3 Zahlen addiert. Also ist die mittlere Summe dreier Zahlen gleich 45:3=15.
Die Zahl 15 lässt sich achtmal in eine Summe aus drei Summanden zerlegen: In den Zerlegungen kommen die ungeraden Zahlen 1,3,7 und 9 zweimal vor, die geraden Zahlen 2,4,6 und 8 dreimal, und die Zahl 5 erscheint viermal. Daraus folgt, dass man die Zahl 5 in die Mitte eines magischen 3×3-Quadrates setzen muss. Die übrigen ungeraden Zahlen gehören  in die Seitenmitten und die geraden Zahlen kommen in die Ecken.
Es gibt unter diesen Bedingungen acht symmetrische Möglichkeiten ein Quadrat zu bilden. (Invarianz gegenüber Spiegelung und Drehung).
Berühmte Beispiele aus der Geschichte:
Das Lo-Shu Gitter, Basis des Feng-Shui Bagua, identisch mit dem Siegel des Saturn.

4  9  2
3  5  7
8  1  6

Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I zu finden.

Dürer: Melancholia

Dürer: Melencholia I – Sigillum Jovis:

  • Das Dürer-Quadrat hat folgende Eigenschaften: Es ist ein symmetrisches magisches Quadrat.
  • Die Summe der Zahlen in senkrechten oder waagerechten Reihen ergibt immer 34.
  • Die Summe der beiden mittleren Diagonalen ergibt 34.
  • Die Summe der Elemente der vier Quadranten ist jeweils die magische Zahl 34.
  • Auch die Summe der vier Eckfelder und der vier Zentrumsfelder ist jeweils 34.
  • Auch die Summe der vier einander gegenüberliegenden mittigen Randfelder ist jeweils 34 (5+9+8+12 und 3+2+15+14).
  • Auch die Summe der vier Felder, die jeweils von den vier Eckfeldern um 1 oder um 2 im Uhrzeigersinn weiterversetzten Felder ist jeweils 34 (8+14+9+3 und 12+15+5+2).
  • Die Summe der in Form eines Drachenvierecks angeordneten Elemente (z. B. 2+10+8+14; 3+9+7+15) ist 34.
  • Spiegelsymmetrie um die Hauptdiagonalen: Die Summe der die ersten beiden Zahlen einer Zeile oder Spalte (also z.B. der ersten) und der letzten beiden der gespiegelten (also z.B. der letzten) Zeile oder Spalte (z.B. 16+3+14+1) liefert ebenfalls 34.
  • Auch die Zahlen der beiden mittleren Zeilen oder Spalten in Zickzack-Reihenfolge ergeben 34 (z.B. 3+11+6+14 oder 9+10+7+8).
  • In der Mitte der letzten Zeile erscheint die Jahreszahl 1514, das Jahr, in dem Dürer den Stich anfertigte (Todesjahr der Mutter).
  • Am Anfang der letzten Zeile steht eine 4, am Ende eine 1. Setzt man diese Ziffern mit Buchstaben des Alphabets gleich, erhält man D und A, das Monogramm des Künstlers (Dürer Albrecht)
  • Es stellt die gespiegelte Kamea des Jupiter dar, in der Schutzmagie ein wichtiges Symbol für Erfolgs-Amulette.

Goethes Hexeneinmaleins ist kein regelrechtes magisches Quadrat, da es die NULL enthält und nicht beide Diagonalsummen gleich der magischen Zahl (15) sind.

Hexen-Einmaleins

Hexen-Einmaleins

Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es drei verschiedene Verfahren, die von der Kantenlänge abhängen. Die simpelste Lösung funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Kantenlänge. Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein: Wenn die zuletzt geschriebene Zahl kein Vielfaches von n ist, dann trage die nächste Zahl in das Feld oben rechts vom zuletzt ausgefüllten Feld. Ist die letzte Zahl ein Vielfaches von n, dann trage die nächste Zahl in das Feld unter der zuletzt geschriebenen Zahl. Überschreitet man den Bereich des Quadrates nach oben, so schreibe die nächste Zahl ganz unten in die Spalte, die rechts der Spalte liegt, in die die letzte Zahl geschrieben wurde. Wird das Quadrat nach rechts verlassen, schreibe die nächste Zahl ganz links in die Zeile, die über der Zeile der zuletzt geschriebenen Zahl liegt. Hierbei wird das magische Quadrat als rotierend angesehen, d. h. wenn man den oberen Rand überschreitet (das passiert schon beim ersten Schritt), landet man automatisch wieder am unteren Rand , und wenn es rechts verlässt, dann kommt man vom linken Rand wieder hinein.
Erfüllt ein magisches Quadrat zusätzlich die Bedingung, dass die Summen zweier Elemente, die punktsymmetrisch zum Mittelpunkt (bei geraden) oder zum zentralen Element (bei ungeraden magischen Quadraten) liegen, gleich sind, so wird es symmetrisches magisches Quadrat genannt. Wie man leicht zeigen kann, muss die Summe zweier solcher Elemente n^2+1 betragen; bei ungeraden symmetrischen magischen Quadraten hat das Mittelfeld den Wert (n^2 + 1)/2. Bei einem sogenannten pandiagonalen magischen Quadrat muss nicht nur die Summe der Diagonalen, sondern auch die der gebrochenen Diagonalen gleich sein. Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Gegendiagonale, wobei Elemente außerhalb des Quadrats um eine Kantenlänge verschoben werden. Die kleinstmögliche Kantenlänge für ein pandiagonales magisches Quadrat ist 4.
Magische Quadrate, die sowohl symmetrisch als auch pandiagonal sind, nennt man ultramagisch.
Buchstabenquadrate:
Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wobei in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter entstehen. Ein Beispiel hierfür ist das Sator-Quadrat:

 Satorquadrat

Sator-Quadrat:
Schutmagisches
Palindrom in 2D.

Der Sämann Arepo lenkt die Werke der
(Schicksals)Räder“ , eine mögliche Interpretation: Arepo als Eigenname.

Andere Deutungen vermuten ein Wort für „Pflug“, „Boden“ oder eine Verbindung zum Verb repere, „kriechen“. Sator war auch eine Variante des Gottesnamen.

1024px-Palindrom_PATERNOSTER.svg

Pater Noster (Vater unser) und Alpha &
Omega (A,O) als christliche Schutzformel.

Der SCHÖPFER (sator) LENKT (tenet) VERBORGEN (arepo, von repere=kriechen; a-repo: aus dem Weggekrochenen) die RÄDER (rotas=Räder) der WELT (opera).
Ein Verbindung mit dem frühen Christentum ist ebenfalls möglich: Ordnet man die Buchstabenfolge des magischen Quadrates nach der antiken Sigillen-Methode erhält man als Resultat das PATERNOSTER-Anagramm.

Ein mögliches Erkennungszeichen für die frühen Christen, wer die SATOR-Formel korrekt auflösen konnte, war ein Eingeweihter. Diese Erklärung wäre auch stimmig mit der Tatsache, dass die SATOR-Formel erstmals mit dem Erscheinen der Anfänge des Christentums auftaucht. Derlei Geheimzeichen oder Passwörter waren in den antiken Mysterienkulten durchaus üblich, bei den Pythagoräernz.B. nutzte man die korrekte Kenntnis der mathematischen Proportionen des Pentagramms (PHI, der Goldene Schnitt).

Mit magischen Quadraten haben sich alle möglichen Gelehrten beschäftigt: Neben Agrippa von Nettesheim, der die Planetensigillen wiederentdeckte und Goethe war auch z.B. Benjamin Franklin von derlei mathematischen Zahlenspielereien angetan. Er entwickelte eine Vielzahl dieser Zahlengitter, mit allerlei, teilweise komplizierten und exotischen Symmetrien.

 

 

 

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This entry was posted on Freitag, Januar 30th, 2015 at 07:18 and is filed under Geschichte, Literatur, magisch, Mathe-Magisches, Philosophie. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. Both comments and pings are currently closed.

 
 

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