Archive for Januar 30th, 2016

 

Pythagoras in der Schmiede: Anfänge der Akustik und Musiktheorie

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Monochord zur Bestimmung der natürlichen Intervalltonreihe.
Hephaistos als Schmied, göttlicher Musiker oder Tubalkain?
Die erwähnte Tetraktys ist einen eigenen Artikel wert.

Kleiner Ausflug in das Gebiet der Akustik
Ein Ton entsteht durch Schwingungen der Luft, d. h. durch periodischen Wechsel von Zonen dichterer, komprimierter und dünnerer Luft, also Über-und Unterdruck. Hörbar wird dieser Vorgang für uns in einer Skala vom tiefsten Ton bei 16 Hz (Schwingungen pro Sekunde) bis zum höchsten Ton bei 19 000 Hz, dem sogenannten Hörbereich. Auslösen lassen sich Wellen von unterschiedlichem Luftdruck durch vibrierende Gegenstände, insbesondere Membranen oder Saiten. Werden gespannte Saiten angerissen, schwingen sie, d.h. sie federn zurück über die Nulllage hinaus und wieder zurück. Der Grad der Auslenkung und ihr zeitlicher Verlauf hängen von der Vorspanung der Saite ab.
Weniger Spannung – langsame Schwingung – tiefer Ton, Stärkere Spannung – schnellere Schwingung – höherer Ton.
Als Basis zur Festlegung von Tonleitern gilt der auf 440 Hz festgelegte Standard-Kammerton A. Stellen wir uns vor, wir hätten eine A- Saite. Verkürzen wir wir diese Beispielsaite auf die halbe Länge, schwingt die neue Saite schneller, denn sie hat weniger Masse. Sie erzeugt nun einen Ton um eine sogenannte Oktave höher, dabei erfolgt eine Frequenzverdopplung auf 880 Hz. Würde man diese Saite wieder halbieren (1/4 der urprünglichen A-Saite), klänge sie nun mit sie 1760 Hz, 1⁄4 Saite entspricht der 4-fachen Frequenz. Jede weitere Halbierung erzeugt einen neuen Oktavschritt.
Schon Pythagoras errechnete die Verhältnisse der Frequenzen von verschiedenen Tönen, er bediente sich der Mathematik, um die Musik zu beschreiben. Er stellte eine Tonskala auf, die heute PYTHAGORÄISCHE SKALA genannt wird. Dazu baute er sich einen sogenannten Monochord (Einsaiter) , um die Tonverhältnisse zu bestimmen. Er besteht aus einem Holzkästchen als Resonanzkörper mit einer darauf gespannten Saite, die einen bestimmten Grundton besitzt. Pythagoras stellte fest, daß der gleiche Ton eine Oktave höher erklingt, wenn man die Hälfte der Saite abklemmt. Die Quinte erklingt, wenn man zwei Drittel der Saite, die Quarte, wenn man drei Viertel anschlägt. Mit diesen Beobachtungen berechnete er den Rest der Skala.
Wieviele Töne umfasst eine Oktave? Die vom Wort suggerierte Antwort (Okto=8) ist falsch, denn die Oktave umfasst 6 Ganzton- oder 12 Halbtonschritte. Zwölf ist eine heilige Zahl: Sie symbolisiert die Ganzheit des Kosmos. Man stösst sehr oft auf diese Zahl, im Zusammenhang mit Naturprinzipien.
In reiner Stimmung sind diese Tonschritte aber keineswegs äquidistant, und es gäbe viele Varianten, um neue Töne zu bilden, im Prinzip sogar unendlich viele. Dass man trotzdem mit 12 Tonschritten auskommt, liegt daran, dass sich aus 12 Quinten ungefähr 7 Oktaven bilden lassen. (Quintenzirkel). Diese sogenannte pythagoräische Stimmung erhielt sich bis ins Mittelalter, jede Musikrichtung in den Zeiten bis zur Klassik hatte eine eigene Art, mit der erwähnten Ungenauigkeit zwischen Quinten- und Oktavenssystem umzugehen:

Pythagoras konsonante Intervalltonreihe weist nämlich einen kleinen Fehler auf, das nach ihm benannte Komma: Rechnet man den Ton mit dieser Skala aus, einmal als 12. Quinte und einmal als 7. Oktave, so ergibt sich ein Unterschied, die Differenz der beiden berechneten Tonhöhen nennt man das pythagoräische Komma. Wird der Ausgangston nicht wieder genau getroffen, entsteht eine Schwebung, die ein An-und Abschwellen des Tones verursacht: Der heulende Quintenwolf.  Bei der Stimmung nach dem Quintenzirkel muss man daher die Restmenge auf die Tonintervalle so verteilen, dass möglichst keine Schwebungen zustandekommen. Wie in den einzelnen Epochen mit diesem Fehler musikalisch umgegangen wurde, ist wie schon erwähnt, unterschiedlich. Dieses Verfahren der Komma-Korrektur wird auch als Tempererierung bezeichnet.

 

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Der Quintenwolf, oder Pythagoräisches KommaApollon mit der Leier, die ihm vom Merkur, dem luftigen Bruder des Hephaistos angefertigt wurde. Neben dem Schöpfer und Patron der Musik heult der Quintenwolf.

Pythogaros Beitrag zur Musiktheorie

Die Ansicht, dass Pythagoras der Begründer der mathematischen Analyse der Musik gewesen sei, war in der Antike allgemein verbreitet und akzeptiert. Bereits Platon führte die musikalische Zahlenlehre auf die Pythagoreer zurück, sein Schüler Xenokrates schrieb die entscheidende Entdeckung Pythagoras selbst zu. Bei Pythagoras Forschungen und Erkenntnissen  ging es um die Darstellung der harmonischen Intervalle durch einfache rationale Zahlen (als Brüche). Veranschaulicht wurde dies durch Streckenmessung am Monochord, der die Abhängigkeit der Tonhöhe von der Länge schwingender Saiten hervorragend demonstriert. Offenbar gingen manche Pythagoreer, wie viele Instrumentenbauer heute auch,  empirisch vor, denn Platon, der eine rein spekulative Musiktheorie forderte und der Empirie misstraute, kritisierte sie in dieser Hinsicht. Die Überlieferung, wonach Pythagoras Musik gezielt zur Beeinflussung unerwünschter Affekte einsetzte, also eine Art Musiktherapie betrieb, wird von Historikern als frühpythagoreisch eingestuft. Ein Hinweis auf orphische=schamanistische Ursprünge seiner Lehren?

Nach der Schamanismusthese der Pythagorasforschung war es ebenso wie in der Mathematik auch in der Musik nicht das Anliegen des Pythagoras, reale Beobachtungen und gedankliche Ableitungen durch Messung zu quantifizieren. Vielmehr ging es ihm darum, symbolische Beziehungen zwischen Zahlen und Tönen zu finden und so die Musik ebenso wie die Mathematik in das Gebäude seiner Kosmologie einzuordnen. Es wird sogar bezweifelt, dass es zu Pythagoras Zeit ein zur Systematik von Tonreihen brauchbares Monochord mit Schiebesteg gegeben hätte. Das halte ich aber für an den Haaren herbeigezogen und für eine “aus dem Bauch heraus” Methode braucht es  keine Berechnungen und zahlentheoretischen Überlegungen. Auch waren viele seiner symbolischen Zahlenkorrespondenzen eher astronomisch/geometrisch als gematrisch, wie das z.B. bei den Kabbalisten der Fall ist.  Auch ist die Mystik der Orphiker nicht rein schamanisch, sie enthält allerdings einige der ekstatischen Praktiken. Diese einseitige Sicht auf Pythagoras ist daher für mich nicht relevant. Die ebenfalls im Umlauf befindliche Wissenschaftsthese vertritt einen konträren Standpunkt. Ihr zufolge war Pythagoras der Entdecker der musikalischen Harmonielehre; er ging dabei empirisch vor und bediente sich des Monochords. Seine Schüler setzten die Forschungen fort.  Allerdings leugnen diese “Pythagorasversteher” wiederum jegliche spirituelle Komponente seiner Lehren. Warum immer dieses reduzierte Schwarz-Weiss Denken? Weshalb kann man einem Wissenschaftler nicht mystische Interessen zugestehen. Es ist dasselbe wie bei Newton, als seine alchmistischen Studien Mitte des 20. Jhds. weltweit bekannt wurden, unterstellte mn ihm sofort eine Geisteskrankheit. Zu dumm, dass sein mathematisches Hauptwerk (Principia) auch in diesen Zeitraum angeblicher “geistiger Zerrüttung” fällt. Dogmatischer Blödsinn allerorten. Dominikanertum der Wissenschaft, sehr traurig. Philosophie sollte an Universitäten wieder zu den Pflichtvorlesungen für Naturwissenschaftler gehören. Dann lassen wir uns vielleicht auch nicht mehr als bessere Rechenknechte der Industrie missbrauchen, sondern bringen wieder etwas wirklich Weltbewegendes zustande.  Zu gefährlich für die herrschende Geldsack-Clique ?

Aus der  römischen Kaiserzeit stammt die Legende von Pythagoras in der Schmiede: Pythagoras sei an einer Schmiede vorbeigekommen und habe in den Tönen der Schmiedehämmer immer wieder Harmonien wahrgenommen. Er habe beobachtet, dass es vom Gewicht der Hämmer abhing, ob ein Wohlklang oder dissonanter Lärm entstand. Darauf habe er zu Hause mit gleich langen Saiten experimentiert, die er mit Gewichten belastete, und sei zum Ergebnis gekommen, dass die Klanghöhe dem Gewicht der Metallkörper entspricht und so die reinen Intervalle von Oktave, Quarte und Quinte durch messbare Proportion zustande kommen. Damit soll erstmals musikalische Qualität quantifizierbar gemacht worden sein.

Exkurs für Brr. Freimaurer:

Der den Brüdern wohlbekannte Tubalkain war ein Schmied, Hiram war ein Meister des Giessens in Bronze und Eisen: Schmiede und Metallgiesser galten als Magier, wegen der Transformation des Metalls und ihrem Umgang mit Feuer. Tubalkain wird mit Vulcan (etymologisch verwandt) in Verbindung gebracht.  Der trommelte mit seinen Schmiedehämmern in einer Höhle unter dem Ätna und hinkte auch ein wenig: Das erinnert an den Pantoffel  des Initianden … Ausserdem war Vulcanus oder Hephaistos die praktisch veranlagte Version seines Bruders Merkur (Hermes Trismeghistos), dem Erfinder der Lyra. Der Götterbote und sein russiger Zwilling, der Schmied zählen damit auch zu den Patronen der Musik, nicht nur der schöngeistige Apollon. Wie Prometheus gehört Hephaistos zu den Feuerbringern (LICHT-Trägern).  Auch die gälische Brigid ist zugleich Schutzherrin  der Schmiede und der Barden. Im Frühmittelalter bezeichnete Isidor von Sevilla den biblischen Schmied Tubal(kain) gar als den Erfinder der Musik. Daher gibt es vielleicht wirklich einen noch unerforschten realen Hintergrund der Schmiede-Anekdoete.

Zu Praxistauglichkeit der Schmiede-Legende: Da die harmonischen Töne von Hämmern nicht hörbar sind und die Tonhöhe weder zum Gewicht eines Hammers noch zur Spannung einer Saite eine einfache Proportionalität besteht, ist man bereit, von einer frommen Legende ausgehen, oder missverständlicher Überlieferung des echten Tatbestands. Die Annahme, dass die Tonhöhe einer Saite proportional zur Spannkraft ist, trifft nicht zu, vielmehr ist die Tonhöhe proportional zur Quadratwurzel der Spannkraft. Um die Tonhöhe zu verdoppeln, muss also eine vierfache Zugkraft ausgeübt und somit ein viermal so schweres Gewicht an eine Saite gehängt werden.

Aber Vorsicht: Die Quadratzahlen galten den Pythagoräern als besonders “heilig”, gerade die VIER! Nur, weil es keine einfachen Proportionalitäten gibt, heisst das nicht, dass einige von Pythagoros Grundideen nicht auf eine der Legende ähnliche Weise zustandegekommen sein könnten. Durch die Verwendung des Monochords konnte das Problem dann auf die einfachere Längenproprtionalität reduziert werden.

Die Obertonreihe

Harmonische Bestandteile eines Tones (Obertöne)

Harmonische Bestandteile eines Tones (Obertöne)

Durch seine musiktheoretischen Bestrebungen könnte Pythagoras auch auf ein natürliches Fraktal gestossen sein: Die Intervallschachtelung der sogenannten Obertonreihe. Das Paradebeispiel eines musikalischen Fraktals ist nämlich die Obertonreihe – die physikalische Grundlage des Durdreiklangs und damit des traditionellen musikalischen Harmonieempfindens überhaupt. Denn sie ist selbstähnlich, d.h. sie enthält sich auf regelmässige Weise unendlich viele Male selbst.

Obertonsingen gehört zum Repertoire vieler Schamanen und ist Bestandteil schamanischer Kulturen, z.B. im Altai und der Mongolei, aber auch im Alpenraum und bei den Sami des arktischen Kreises wird es gerne praktiziert. Diese Form der Musik wird auch zu Heilzwecken verwendet. Dann war er halt doch ein Schamane, der Pythagoras.

Moderne Bauformen des Monochords sind oft mit vielen parallelen Saiten versehen, die auf den gleichen Ton gestimmt sind und dadurch einen sehr vollen Klang mit reichem Obertonspektrum erzeugen. Diese werden auch als Polychord bezeichnet. Große solche Monochorde/Polychorde nutzt man zur Meditationsbegleitung, in der Musiktherapie, zur allgemeinen Entspannung und in der Alternativmedizin für klangtherapeutische Anwendungen (Phonophorese), da ihr Klang als angenehm und beruhigend empfunden wird. Hier ähneln sie den aus dem asiatischen Raum stammenden Klangschalen. Der Form des Resonanzkastens sind keine Grenzen gesetzt. Teilweise werden sogar regelrechte „Klangmöbel“ gebaut, in der Form von Halbkugeln oder Röhren, in die sich eine Person sogar hineinbegeben kann.  Das hätte dem Pythagoras sicher gefallen.

 

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